関数 $y = x^2 + 2x - 1$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 2x - 1$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

2. 解き方の手順

平均変化率は、$x$ の変化量に対する $y$ の変化量の比で定義されます。

すなわち、平均変化率 $= \frac{yの増加量}{xの増加量}$ です。

まず、$x=a$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(a) = a^2 + 2a - 1$

次に、$x=b$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(b) = b^2 + 2b - 1$

$x$ が $a$ から $b$ へ変化するときの $y$ の変化量 $Δy$ は、

$Δy = y(b) - y(a) = (b^2 + 2b - 1) - (a^2 + 2a - 1) = b^2 - a^2 + 2b - 2a$

$x$ の変化量 $Δx$ は、

$Δx = b - a$

平均変化率は、

$\frac{Δy}{Δx} = \frac{b^2 - a^2 + 2b - 2a}{b - a}$

ここで、$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$ であることを利用して、分子を変形します。

$\frac{(b-a)(b+a) + 2(b-a)}{b-a}$

$(b-a)$ でくくると、

$\frac{(b-a)(b+a+2)}{b-a}$

$b \neq a$ であるとき、$b-a \neq 0$ なので、$b-a$ で約分できます。

$b+a+2$

3. 最終的な答え

$a + b + 2$