$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$とする。 このとき、$2^{50}$は何桁の整数であるか。また、$(\frac{2}{3})^{50}$は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$とする。

このとき、$2^{50}$は何桁の整数であるか。また、$(\frac{2}{3})^{50}$は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

2. 解き方の手順

(1) $2^{50}$の桁数を求める。

$X = 2^{50}$とおき、両辺の常用対数をとると

$\log_{10}X = \log_{10}2^{50} = 50\log_{10}2 = 50 \times 0.3010 = 15.05$

よって、$X = 10^{15.05} = 10^{15} \times 10^{0.05}$

ここで、$10^{0.05}$について、$10^{0} = 1 < 10^{0.05} < 10^{0.3010} = 2$なので、$1 < 10^{0.05} < 2$

したがって、$10^{15} < X < 2\times10^{15}$

つまり、$X$は16桁の整数である。

(2) $(\frac{2}{3})^{50}$が小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$Y = (\frac{2}{3})^{50}$とおき、両辺の常用対数をとると

$\log_{10}Y = \log_{10}(\frac{2}{3})^{50} = 50\log_{10}(\frac{2}{3}) = 50(\log_{10}2 - \log_{10}3)$

$= 50(0.3010 - 0.4771) = 50(-0.1761) = -8.805$

よって、$Y = 10^{-8.805} = 10^{-9+0.195} = 10^{-9} \times 10^{0.195}$

ここで、$10^{0} = 1$であり、$10^{0.3010} = 2$なので、$1 < 10^{0.195} < 2$。

つまり、$(\frac{2}{3})^{50} = 10^{-9} \times 10^{0.195}$は小数第9位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

$2^{50}$は16桁の整数である。

$(\frac{2}{3})^{50}$は小数第9位に初めて0でない数字が現れる。