問題は2つあります。 (1) $(2 + \sqrt{3} + \sqrt{7})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{7})$ を計算します。 (2) $\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ の分母を有理化します。 また、別の問題として、 $x = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$, $y = \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$ のとき、 (1) $x + y$ と $xy$ を求めます。 (2) $3x^2 - 5xy + 3y^2$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $(2 + \sqrt{3} + \sqrt{7})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{7})$ を計算します。

(2) $\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ の分母を有理化します。

また、別の問題として、

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$, $y = \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$ のとき、

(1) $x + y$ と $xy$ を求めます。

(2) $3x^2 - 5xy + 3y^2$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$(2 + \sqrt{3} + \sqrt{7})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{7})$ を計算します。これは、

$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ の形なので、$A = 2 + \sqrt{3}$, $B = \sqrt{7}$ とすると、

$(2 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) - 7 = 7 + 4\sqrt{3} - 7 = 4\sqrt{3}$ となります。

(2)

$\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ の分母を有理化します。

まず、分母を $(2 + \sqrt{3}) + \sqrt{7}$ と見て、$(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{7}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{7}}{((2 + \sqrt{3}) + \sqrt{7})((2 + \sqrt{3}) - \sqrt{7})} = \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{(2 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{4 + 4\sqrt{3} + 3 - 7} = \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{4\sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3} - \sqrt{7})\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{21}}{12}$ となります。

別の問題

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$, $y = \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$ のとき、

(1) $x + y = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{(1 - \sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt{2})^2}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{(1 - 2\sqrt{2} + 2) + (1 + 2\sqrt{2} + 2)}{1 - 2} = \frac{3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}}{-1} = \frac{6}{-1} = -6$

$xy = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = 1$

(2) $3x^2 - 5xy + 3y^2 = 3(x^2 + y^2) - 5xy = 3((x + y)^2 - 2xy) - 5xy = 3(x + y)^2 - 6xy - 5xy = 3(x + y)^2 - 11xy = 3(-6)^2 - 11(1) = 3(36) - 11 = 108 - 11 = 97$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{3}$

(2) $\frac{2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{21}}{12}$

別の問題

(1) $x + y = -6$, $xy = 1$

(2) $3x^2 - 5xy + 3y^2 = 97$