2次正方行列 $A$ が相異なる固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ を持つとする。固有値 $\lambda_k$ に対する固有ベクトルを $x_k$ とするとき、$x_1$ と $x_2$ は平行でないことを示せ。

1. 問題の内容

2次正方行列 $A$ が相異なる固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ を持つとする。固有値 $\lambda_k$ に対する固有ベクトルを $x_k$ とするとき、$x_1$ と $x_2$ は平行でないことを示せ。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。つまり、$x_1$ と $x_2$ が平行であると仮定して矛盾を導く。

$x_1$ と $x_2$ が平行であると仮定すると、あるスカラー $c \neq 0$ が存在して、$x_2 = c x_1$ と書ける。

$x_1$ は固有値 $\lambda_1$ に対する固有ベクトルなので、

$$A x_1 = \lambda_1 x_1$$

$x_2$ は固有値 $\lambda_2$ に対する固有ベクトルなので、

$$A x_2 = \lambda_2 x_2$$

$x_2 = c x_1$ を代入すると、

$$A (c x_1) = \lambda_2 (c x_1)$$

$c$ はスカラーなので、

$$c A x_1 = c \lambda_2 x_1$$

$c \neq 0$ より、$c$ で割って

$$A x_1 = \lambda_2 x_1$$

一方、$A x_1 = \lambda_1 x_1$ だったので、

$$\lambda_1 x_1 = \lambda_2 x_1$$

$$(\lambda_1 - \lambda_2) x_1 = 0$$

$x_1$ は固有ベクトルなので、$x_1 \neq 0$ 。よって、

$$\lambda_1 - \lambda_2 = 0$$

$$\lambda_1 = \lambda_2$$

これは、$\lambda_1$ と $\lambda_2$ が相異なるという仮定に矛盾する。

したがって、$x_1$ と $x_2$ は平行ではない。

3. 最終的な答え

$x_1$ と $x_2$ は平行ではない。