与えられた条件を満たす2次関数を求めます。具体的には、 (2) $x=-2$ で最大値1をとり、点$(-1, -1)$ を通る2次関数を求めます。 (3) 3点 $(1, 5), (2, 1), (-1, 1)$ を通る2次関数を求めます。 (4) 3点 $(3, 0), (-1, 0), (2, 6)$ を通る2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求めます。具体的には、

(2) $x=-2$ で最大値1をとり、点$(-1, -1)$ を通る2次関数を求めます。

(3) 3点 $(1, 5), (2, 1), (-1, 1)$ を通る2次関数を求めます。

(4) 3点 $(3, 0), (-1, 0), (2, 6)$ を通る2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(2) $x=-2$ で最大値1をとるので、求める2次関数は $y = a(x+2)^2 + 1$ と表せます。

点 $(-1, -1)$ を通るので、この点を代入すると

$$-1 = a(-1+2)^2 + 1$$

$$-1 = a + 1$$

$$a = -2$$

したがって、2次関数は $y = -2(x+2)^2 + 1$ となります。展開して整理すると、

$$y = -2(x^2 + 4x + 4) + 1$$

$$y = -2x^2 - 8x - 8 + 1$$

$$y = -2x^2 - 8x - 7$$

(3) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

3点 $(1, 5), (2, 1), (-1, 1)$ を通るので、それぞれ代入して

$$a + b + c = 5$$

$$4a + 2b + c = 1$$

$$a - b + c = 1$$

3つの式から $a, b, c$ を求めます。

1つ目の式から3つ目の式を引くと $2b = 4$ となり、$b = 2$ が得られます。

$b = 2$ を1つ目の式と2つ目の式に代入すると

$$a + 2 + c = 5$$

$$4a + 4 + c = 1$$

整理して

$$a + c = 3$$

$$4a + c = -3$$

2つ目の式から1つ目の式を引くと $3a = -6$ となり、$a = -2$ が得られます。

$a = -2$ を $a + c = 3$ に代入すると $-2 + c = 3$ より $c = 5$ が得られます。

したがって、2次関数は $y = -2x^2 + 2x + 5$ となります。

(4) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

3点 $(3, 0), (-1, 0), (2, 6)$ を通るので、それぞれ代入して

$$9a + 3b + c = 0$$

$$a - b + c = 0$$

$$4a + 2b + c = 6$$

$y = a(x-3)(x+1) = a(x^2-2x-3)$とおいてもよいです。

3点 $(3, 0), (-1, 0)$ より、$x$切片が3と-1であることが分かります。

したがって、$y=a(x-3)(x+1)$ とおくことができます。

点$(2, 6)$ を通るので、代入すると

$$6 = a(2-3)(2+1)$$

$$6 = a(-1)(3)$$

$$6 = -3a$$

$$a = -2$$

したがって、2次関数は $y = -2(x-3)(x+1)$ となります。展開して整理すると

$$y = -2(x^2 - 2x - 3)$$

$$y = -2x^2 + 4x + 6$$

3. 最終的な答え

(2) $y = -2x^2 - 8x - 7$

(3) $y = -2x^2 + 2x + 5$

(4) $y = -2x^2 + 4x + 6$