2次関数 $y = -x^2 + 2x + 7$ の最大値と最小値を求めよ。ただし、定義域が指定されていないため、取りうる最大値と最小値の範囲について考える。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2x + 7$ の最大値と最小値を求めよ。ただし、定義域が指定されていないため、取りうる最大値と最小値の範囲について考える。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 2x + 7$

$y = -(x^2 - 2x) + 7$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 7$

$y = -((x - 1)^2 - 1) + 7$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 7$

$y = -(x - 1)^2 + 8$

この式から、グラフは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(1, 8)$ であることがわかる。

したがって、最大値は $x = 1$ のときに $y = 8$ となる。

最小値については、定義域が指定されていないため、実数全体で考える必要がある。$x$ が無限に大きくなる、または小さくなるにつれて、$y$ の値は負の無限大に近づく。したがって、最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

最大値は $8$ であり、最小値は存在しない。