$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 - 3xy + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の和と積を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

$xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

次に、$x^2 - 3xy + y^2$ を $(x+y)$ と $xy$ を用いて表します。

$x^2 - 3xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 5xy = (x+y)^2 - 5xy$

$x+y = \sqrt{7}$ より $(x+y)^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$

$xy = 1$ より $5xy = 5(1) = 5$

よって、$x^2 - 3xy + y^2 = (x+y)^2 - 5xy = 7 - 5 = 2$

3. 最終的な答え

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