与えられた3つの式を簡単にします。 (1) $2^{\log_{3}9}$ (2) $100^{\log_{10}\sqrt{2}}$ (3) $10^{-\log_{100}2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を簡単にします。

(1) $2^{\log_{3}9}$

(2) $100^{\log_{10}\sqrt{2}}$

(3) $10^{-\log_{100}2}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\log_{3}9$ を計算します。

$9=3^2$ なので、$\log_{3}9 = \log_{3}3^2 = 2$ となります。

したがって、$2^{\log_{3}9} = 2^2 = 4$

(2)

$100^{\log_{10}\sqrt{2}}$ を計算します。

まず、$100 = 10^2$ であることに注意します。

したがって、$100^{\log_{10}\sqrt{2}} = (10^2)^{\log_{10}\sqrt{2}} = 10^{2\log_{10}\sqrt{2}}$

次に、対数の性質 $n\log_a x = \log_a x^n$ を使います。

$10^{2\log_{10}\sqrt{2}} = 10^{\log_{10}(\sqrt{2})^2} = 10^{\log_{10}2} = 2$

(3)

$10^{-\log_{100}2}$ を計算します。

まず、対数の底の変換公式を使います。

$\log_{100}2 = \frac{\log_{10}2}{\log_{10}100} = \frac{\log_{10}2}{\log_{10}10^2} = \frac{\log_{10}2}{2}$

したがって、$10^{-\log_{100}2} = 10^{-\frac{1}{2}\log_{10}2} = 10^{\log_{10}2^{-\frac{1}{2}}} = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 2

(3) $\frac{\sqrt{2}}{2}$