与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、次の不等式で表される領域がどのような領域に移るか、写像後の領域を求める問題です。 (1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$ (2) $x_1 \ge 0$ (3) $x_2 \le -x_1$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、次の不等式で表される領域がどのような領域に移るか、写像後の領域を求める問題です。

(1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$

(2) $x_1 \ge 0$

(3) $x_2 \le -x_1$

2. 解き方の手順

(1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$ の場合

ベクトル $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ を線形写像 $y = Ax$ によって変換します。

$y = A x = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + 3x_2 \\ x_1 + x_2 \end{bmatrix}$

$y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + 3x_2 \\ x_1 + x_2 \end{bmatrix}$ とすると、 $y_1 = 2x_1 + 3x_2$ 、 $y_2 = x_1 + x_2$ となります。

$0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$ の領域の四隅の点を変換すると、

$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}$

これらの4点を通る平行四辺形が写像後の領域になります。

(2) $x_1 \ge 0$ の場合

$y_1 = 2x_1 + 3x_2$

$y_2 = x_1 + x_2$

$x_1 = y_1 - 3y_2$

$x_2 = -y_1 + 2y_2$

$x_1 \ge 0$ より、$y_1 - 3y_2 \ge 0$ となります。これは $y_1 \ge 3y_2$ または $y_2 \le \frac{1}{3} y_1$ を意味します。

これは、$y_1, y_2$ 平面上で、$y_1$ 軸と傾き $1/3$ の直線で区切られた領域のうち、$y_2 \le \frac{1}{3} y_1$ を満たす領域です。

(3) $x_2 \le -x_1$ の場合

$y_1 = 2x_1 + 3x_2$

$y_2 = x_1 + x_2$

$x_1 = y_1 - 3y_2$

$x_2 = -y_1 + 2y_2$

$x_2 \le -x_1$ より、 $-y_1 + 2y_2 \le -(y_1 - 3y_2)$ となります。

$-y_1 + 2y_2 \le -y_1 + 3y_2$

$0 \le y_2$ となります。

これは、$y_1, y_2$ 平面上で、$y_2$ が0以上の領域です。つまり、$y_1$ 軸より上の領域です。

3. 最終的な答え

(1) 原点、(2,1)、(3,1)、(5,2) を頂点とする平行四辺形

(2) $y_2 \le \frac{1}{3} y_1$ を満たす領域

(3) $y_2 \ge 0$ を満たす領域