与えられた行列 $ \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix} $ の余因子行列と逆行列を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{pmatrix}

2 & 4 & 1 \\

1 & -2 & 1 \\

0 & 5 & -1

\end{pmatrix}

$$

の余因子行列と逆行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列をAとします。

$$

A = \begin{pmatrix}

2 & 4 & 1 \\

1 & -2 & 1 \\

0 & 5 & -1

\end{pmatrix}

$$

次に、Aの各要素の余因子を計算します。余因子 $C_{ij}$ は、Aのi行とj列を取り除いた小行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたものです。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1) - (1)(5) = 2 - 5 = -3$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -( (1)(-1) - (1)(0) ) = -(-1) = 1$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (1)(5) - (-2)(0) = 5$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -( (4)(-1) - (1)(5) ) = -(-4 - 5) = 9$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (1)(0) = -2$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -( (2)(5) - (4)(0) ) = -10$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = (4)(1) - (1)(-2) = 4 + 2 = 6$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -( (2)(1) - (1)(1) ) = -(2 - 1) = -1$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (4)(1) = -4 - 4 = -8$

余因子行列Cは以下のようになります。

$$

C = \begin{pmatrix}

-3 & 1 & 5 \\

9 & -2 & -10 \\

6 & -1 & -8

\end{pmatrix}

$$

余因子行列の転置行列（adj(A)）は、Aの随伴行列です。

$$

adj(A) = C^T = \begin{pmatrix}

-3 & 9 & 6 \\

1 & -2 & -1 \\

5 & -10 & -8

\end{pmatrix}

$$

次に、Aの行列式を計算します。

$$

det(A) = 2 \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 2(-3) - 4(-1) + 1(5) = -6 + 4 + 5 = 3

$$

最後に、逆行列を計算します。逆行列は、随伴行列をAの行列式で割ったものです。

$$

A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}

-3 & 9 & 6 \\

1 & -2 & -1 \\

5 & -10 & -8

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

-1 & 3 & 2 \\

1/3 & -2/3 & -1/3 \\

5/3 & -10/3 & -8/3

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

余因子行列:

$$

\begin{pmatrix}

-3 & 1 & 5 \\

9 & -2 & -10 \\

6 & -1 & -8

\end{pmatrix}

$$

逆行列:

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 3 & 2 \\

1/3 & -2/3 & -1/3 \\

5/3 & -10/3 & -8/3

\end{pmatrix}

$$