与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 7 & 12 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、$T=T_A$ とおいたとき、以下のものを求めます。 (i) 固有多項式 $g_T(t)$ (ii) $T$ の固有値 $\lambda$ (iii) 各固有値 $\lambda$ について、固有空間 $W(\lambda; T)$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 7 & 12 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、$T=T_A$ とおいたとき、以下のものを求めます。

(i) 固有多項式 $g_T(t)$

(ii) $T$ の固有値 $\lambda$

(iii) 各固有値 $\lambda$ について、固有空間 $W(\lambda; T)$

2. 解き方の手順

(i) 固有多項式 $g_T(t)$ を求めます。これは、$g_T(t) = \det(tI - A)$ で与えられます。

$tI - A = \begin{bmatrix} t-7 & -12 & 0 \\ 2 & t+3 & 0 \\ -2 & -4 & t-1 \end{bmatrix}$

固有多項式は、

$g_T(t) = \det(tI - A) = (t-7)(t+3)(t-1) - (-12)(2)(t-1) = (t-1)((t-7)(t+3) + 24) = (t-1)(t^2 - 4t - 21 + 24) = (t-1)(t^2 - 4t + 3) = (t-1)(t-1)(t-3) = (t-1)^2 (t-3)$

(ii) 固有値を求めます。これは、固有多項式が0になる $t$ の値です。

$g_T(t) = (t-1)^2(t-3) = 0$ より、固有値は $\lambda_1 = 1$ (重複度2) と $\lambda_2 = 3$ です。

(iii) 各固有値に対する固有空間を求めます。

まず、$\lambda_1 = 1$ のとき、$A - \lambda_1 I = A - I = \begin{bmatrix} 6 & 12 & 0 \\ -2 & -4 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix}$ となります。

この行列を行簡約化すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ となります。

したがって、固有空間 $W(1; T)$ は、$x + 2y = 0$ を満たすベクトル $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ の集合です。

$x = -2y$ なので、固有空間は $\begin{bmatrix} -2y \\ y \\ z \end{bmatrix} = y\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ で張られます。

よって、$W(1; T) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$ です。

次に、$\lambda_2 = 3$ のとき、$A - \lambda_2 I = A - 3I = \begin{bmatrix} 4 & 12 & 0 \\ -2 & -6 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}$ となります。

この行列を行簡約化すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ となります。

したがって、固有空間 $W(3; T)$ は、$x + 3y = 0$ かつ $z = 0$ を満たすベクトル $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ の集合です。

$x = -3y$ かつ $z = 0$ なので、固有空間は $\begin{bmatrix} -3y \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = y\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ で張られます。

よって、$W(3; T) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$ です。

3. 最終的な答え

(i) $g_T(t) = (t-1)^2 (t-3)$

(ii) $\lambda_1 = 1$ (重複度2), $\lambda_2 = 3$

(iii) $W(1; T) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$, $W(3; T) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$