関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ の $0 \leq x \leq 3$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ の $0 \leq x \leq 3$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + a^2 + 1 = (x - a)^2 + 1$

これは、軸が $x = a$ で、頂点が $(a, 1)$ の下に凸な放物線です。定義域が $0 \leq x \leq 3$ であることを考慮して、以下の3つの場合に分けて最小値を考えます。

[1] $a < 0$ のとき、定義域 $0 \leq x \leq 3$ において、関数は単調増加であるため、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = (0 - a)^2 + 1 = a^2 + 1$ となります。

[2] $0 \leq a \leq 3$ のとき、定義域内に軸 $x = a$ が含まれるので、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a - a)^2 + 1 = 1$ となります。

[3] $3 < a$ のとき、定義域 $0 \leq x \leq 3$ において、関数は単調減少であるため、$x = 3$ で最小値をとります。

最小値は $y = (3 - a)^2 + 1 = (a - 3)^2 + 1 = a^2 - 6a + 9 + 1 = a^2 - 6a + 10$ となります。

以上より、

[1] $a < 0$ のとき、$x = 0$ で最小値 $a^2 + 1$

[2] $0 \leq a \leq 3$ のとき、$x = a$ で最小値 $1$

[3] $3 < a$ のとき、$x = 3$ で最小値 $a^2 - 6a + 10$

3. 最終的な答え

[1] $a < 0$ のとき、$x = 0$ で最小値 $a^2 + 1$

[2] $0 \leq a \leq 3$ のとき、$x = a$ で最小値 $1$

[3] $3 < a$ のとき、$x = 3$ で最小値 $a^2 - 6a + 10$