与えられた正方行列 $A$ に対して、$T = T_A$ とおきます。このとき、 (i) $A$ の固有多項式 $g_T(t)$ を求めよ。 (ii) $T$ の固有値 $\lambda$ を求めよ。 (iii) $T$ の各固有値 $\lambda$ について、固有空間 $W(\lambda; T)$ を求めよ。 与えられた行列は以下の2つです。 (1) $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ (2) $A = \begin{bmatrix} 7 & 12 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた正方行列 $A$ に対して、$T = T_A$ とおきます。このとき、

(i) $A$ の固有多項式 $g_T(t)$ を求めよ。

(ii) $T$ の固有値 $\lambda$ を求めよ。

(iii) $T$ の各固有値 $\lambda$ について、固有空間 $W(\lambda; T)$ を求めよ。

与えられた行列は以下の2つです。

(1) $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

(2) $A = \begin{bmatrix} 7 & 12 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) の行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について解きます。

(i) 固有多項式 $g_T(t)$ を求める。

固有多項式は $\det(tI - A)$ で求められます。

$tI - A = \begin{bmatrix} t-5 & 4 & 2 \\ -6 & t+5 & 2 \\ -3 & 3 & t-2 \end{bmatrix}$

$g_T(t) = \det(tI - A) = (t-5)((t+5)(t-2) - 6) - 4(-6(t-2) + 6) + 2(-18 + 3(t+5))$

$= (t-5)(t^2 + 3t - 10 - 6) - 4(-6t + 12 + 6) + 2(-18 + 3t + 15)$

$= (t-5)(t^2 + 3t - 16) - 4(-6t + 18) + 2(3t - 3)$

$= t^3 + 3t^2 - 16t - 5t^2 - 15t + 80 + 24t - 72 + 6t - 6$

$= t^3 - 2t^2 - t + 2$

$g_T(t) = t^3 - 2t^2 - t + 2$

(ii) 固有値 $\lambda$ を求める。

$g_T(t) = 0$ となる $t$ が固有値です。

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$ を解きます。

$t^2(t-2) - (t-2) = 0$

$(t^2 - 1)(t-2) = 0$

$(t-1)(t+1)(t-2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda = 1, -1, 2$ です。

(iii) 各固有値 $\lambda$ について、固有空間 $W(\lambda; T)$ を求める。

$\lambda = 1$ のとき:

$(A - I)v = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$3x - 3y + z = 0$ より、$z = 3y - 3x$

$W(1; T) = \{ (x, y, 3y - 3x) \mid x, y \in \mathbb{R} \} = span\{ (1, 0, -3), (0, 1, 3) \}$

$\lambda = -1$ のとき:

$(A + I)v = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x - y + z = 0$ より、$z = y - x$

$W(-1; T) = \{ (x, y, y - x) \mid x, y \in \mathbb{R} \} = span\{ (1, 0, -1), (0, 1, 1) \}$

$\lambda = 2$ のとき:

$(A - 2I)v = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x - y = 0$ より、$x = y$

$3x - 4y - 2z = 0$ より、$3x - 4x - 2z = 0$ よって $-x - 2z = 0$, $x = -2z$

$W(2; T) = \{ (-2z, -2z, z) \mid z \in \mathbb{R} \} = span\{ (-2, -2, 1) \}$

(2) の行列 $A = \begin{bmatrix} 7 & 12 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ について解きます。

(i) 固有多項式 $g_T(t)$ を求める。

固有多項式は $\det(tI - A)$ で求められます。

$tI - A = \begin{bmatrix} t-7 & -12 & 0 \\ 2 & t+3 & 0 \\ -2 & -4 & t-1 \end{bmatrix}$

$g_T(t) = \det(tI - A) = (t-1)((t-7)(t+3) - (-12)(2)) = (t-1)(t^2 - 4t - 21 + 24) = (t-1)(t^2 - 4t + 3)$

$g_T(t) = (t-1)(t-1)(t-3) = (t-1)^2(t-3)$

(ii) 固有値 $\lambda$ を求める。

$g_T(t) = 0$ となる $t$ が固有値です。

$(t-1)^2(t-3) = 0$ を解きます。

したがって、固有値は $\lambda = 1, 3$ です。($\lambda = 1$ は重複度2)

(iii) 各固有値 $\lambda$ について、固有空間 $W(\lambda; T)$ を求める。

$\lambda = 1$ のとき:

$(A - I)v = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 6 & 12 & 0 \\ -2 & -4 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x + 2y = 0$ より、$x = -2y$

$W(1; T) = \{ (-2y, y, z) \mid y, z \in \mathbb{R} \} = span\{ (-2, 1, 0), (0, 0, 1) \}$

$\lambda = 3$ のとき:

$(A - 3I)v = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 4 & 12 & 0 \\ -2 & -6 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x + 3y = 0$ より、$x = -3y$

$2x + 4y - 2z = 0$ より、$-6y + 4y - 2z = 0$, $-2y - 2z = 0$, $z = -y$

$W(3; T) = \{ (-3y, y, -y) \mid y \in \mathbb{R} \} = span\{ (-3, 1, -1) \}$

3. 最終的な答え

(1)

(i) $g_T(t) = t^3 - 2t^2 - t + 2$

(ii) $\lambda = 1, -1, 2$

(iii)

$W(1; T) = span\{ (1, 0, -3), (0, 1, 3) \}$

$W(-1; T) = span\{ (1, 0, -1), (0, 1, 1) \}$

$W(2; T) = span\{ (-2, -2, 1) \}$

(2)

(i) $g_T(t) = (t-1)^2(t-3)$

(ii) $\lambda = 1, 3$

(iii)

$W(1; T) = span\{ (-2, 1, 0), (0, 0, 1) \}$

$W(3; T) = span\{ (-3, 1, -1) \}$