与えられた3つの式を簡単にします。 (1) $2^{\log_2 3}$ (2) $10^{\log_{10} \sqrt{2}}$ (3) $10^{-\log_{100} 2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を簡単にします。

(1) $2^{\log_2 3}$

(2) $10^{\log_{10} \sqrt{2}}$

(3) $10^{-\log_{100} 2}$

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を利用します。

$2^{\log_2 3} = 3$

(2) 対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を利用します。

$10^{\log_{10} \sqrt{2}} = \sqrt{2}$

(3) 対数の底の変換公式を利用します。 $\log_{a^n} b = \frac{1}{n}\log_a b$ より、$\log_{100} 2 = \log_{10^2} 2 = \frac{1}{2} \log_{10} 2$

したがって、

$10^{-\log_{100} 2} = 10^{-\frac{1}{2} \log_{10} 2}$

指数の性質より $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$なので、

$10^{-\frac{1}{2} \log_{10} 2} = \frac{1}{10^{\frac{1}{2} \log_{10} 2}}$

指数の性質より $a^{bc} = (a^b)^c$なので、

$\frac{1}{10^{\frac{1}{2} \log_{10} 2}} = \frac{1}{(10^{\log_{10} 2})^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

有理化すると $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{2}$