与えられた3つの方程式を解く問題です。 (1) $x^3 + 8 = 0$ (2) $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$ (3) $x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式を解く問題です。

(1) $x^3 + 8 = 0$

(2) $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$

(3) $x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 8 = 0$

これは因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用できます。

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

したがって、$x+2 = 0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$

$x+2 = 0$ より $x = -2$

$x^2 - 2x + 4 = 0$ について、解の公式を使うと、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$

よって、$x = -2, 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$

(2) $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$

$x^2 = X$ と置くと、$X^2 + 2X - 8 = 0$

$(X+4)(X-2) = 0$

$X = -4, 2$

$x^2 = -4$ より $x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$

$x^2 = 2$ より $x = \pm \sqrt{2}$

よって、$x = \pm 2i, \pm \sqrt{2}$

(3) $x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = 0$

$x=1$ を代入すると、$1 - 8 + 17 - 10 = 0$ となり、$x=1$ は解の一つです。

したがって、$x-1$ で因数分解できます。

$(x-1)(x^2 - 7x + 10) = 0$

$(x-1)(x-2)(x-5) = 0$

よって、$x = 1, 2, 5$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$

(2) $x = \pm 2i, \pm \sqrt{2}$

(3) $x = 1, 2, 5$