整式 $P(x)$ を $x-3$ で割った余りが $14$, $x+2$ で割った余りが $-11$ である。$P(x)$ を $(x-3)(x+2)$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x-3$ で割った余りが $14$, $x+2$ で割った余りが $-11$ である。$P(x)$ を $(x-3)(x+2)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-3)(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$P(x) = (x-3)(x+2)Q(x) + ax + b$ と表せる。

剰余の定理より、$P(3) = 14$ かつ $P(-2) = -11$ である。

$x=3$ のとき、

$P(3) = (3-3)(3+2)Q(3) + 3a + b = 3a + b = 14$

$x=-2$ のとき、

$P(-2) = (-2-3)(-2+2)Q(-2) - 2a + b = -2a + b = -11$

連立方程式

$3a + b = 14$

$-2a + b = -11$

を解く。

上の式から下の式を引くと、

$5a = 25$

$a = 5$

$3a + b = 14$ に $a=5$ を代入すると、

$3(5) + b = 14$

$15 + b = 14$

$b = -1$

したがって、余りは $5x - 1$ である。

3. 最終的な答え

$5x - 1$