問題は、$\frac{1}{1-x}$ が、ある多項式と $\frac{x^n}{1-x}$ の和で表せることを示しています。具体的には、$x \neq 1$ のとき、 $$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1} + \frac{x^n}{1-x} $$ が成り立つことを確認する問題です。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{1-x}$ が、ある多項式と $\frac{x^n}{1-x}$ の和で表せることを示しています。具体的には、$x \neq 1$ のとき、

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1} + \frac{x^n}{1-x}$$

が成り立つことを確認する問題です。

2. 解き方の手順

右辺を通分して計算し、左辺と等しくなることを確認します。

まず、右辺の多項式の部分を $\frac{1-x^n}{1-x}$ で書き換えます。これは等比数列の和の公式から導かれます。

等比数列の和の公式は、初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の最初の $n$ 項の和 $S_n$ が、

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

で与えられるというものです。今回のケースでは、$a=1$、$r=x$ であるため、

$$1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}$$

となります。

したがって、与えられた式の右辺は

$$\frac{1-x^n}{1-x} + \frac{x^n}{1-x}$$

となります。

これを通分すると、

$$\frac{1-x^n + x^n}{1-x} = \frac{1}{1-x}$$

となり、これは左辺と一致します。

3. 最終的な答え

与えられた等式

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1} + \frac{x^n}{1-x}$$

は、$x \neq 1$ のとき成り立ちます。