「総選挙がある」「総選挙がない」という噂の伝播について、噂を伝えていくうちに「総選挙がある」と聞く人と「総選挙がない」と聞く人の割合がそれぞれ一定値に近づくことを示せ。噂の伝播は、前の人が「総選挙がある」と聞いた場合、次の人に「総選挙がある」と伝える確率が0.8、「総選挙がない」と伝える確率が0.2である。前の人が「総選挙がない」と聞いた場合、次の人に「総選挙がある」と伝える確率が0.3、「総選挙がない」と伝える確率が0.7である。$n$人を経由したあとの噂の状態を表すベクトルを $x_n = \begin{bmatrix} \text{総選挙ありの確率} \\ \text{総選挙なしの確率} \end{bmatrix}$ とすると、$x_n = Ax_{n-1}$ と書ける。

1. 問題の内容

「総選挙がある」「総選挙がない」という噂の伝播について、噂を伝えていくうちに「総選挙がある」と聞く人と「総選挙がない」と聞く人の割合がそれぞれ一定値に近づくことを示せ。噂の伝播は、前の人が「総選挙がある」と聞いた場合、次の人に「総選挙がある」と伝える確率が0.8、「総選挙がない」と伝える確率が0.2である。前の人が「総選挙がない」と聞いた場合、次の人に「総選挙がある」と伝える確率が0.3、「総選挙がない」と伝える確率が0.7である。$n$人を経由したあとの噂の状態を表すベクトルを $x_n = \begin{bmatrix} \text{総選挙ありの確率} \\ \text{総選挙なしの確率} \end{bmatrix}$ とすると、$x_n = Ax_{n-1}$ と書ける。

2. 解き方の手順

(1) 遷移行列 $A$ を求める。

問題文より、遷移行列 $A$ は以下のようになる。

$A = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}$

(2) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求める。

まず、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値を求める。

$\begin{vmatrix} 0.8 - \lambda & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - \lambda \end{vmatrix} = (0.8 - \lambda)(0.7 - \lambda) - (0.3)(0.2) = 0$

$0.56 - 0.8\lambda - 0.7\lambda + \lambda^2 - 0.06 = 0$

$\lambda^2 - 1.5\lambda + 0.5 = 0$

$(2\lambda - 1)(\lambda - 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 0.5$。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

- $\lambda_1 = 1$ のとき:

$(A - I)v_1 = 0$

$\begin{bmatrix} -0.2 & 0.3 \\ 0.2 & -0.3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-0.2x_1 + 0.3x_2 = 0$

$2x_1 = 3x_2$

$x_1 = \frac{3}{2}x_2$

したがって、固有ベクトル $v_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）。

- $\lambda_2 = 0.5$ のとき:

$(A - 0.5I)v_2 = 0$

$\begin{bmatrix} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$0.3x_1 + 0.3x_2 = 0$

$x_1 = -x_2$

したがって、固有ベクトル $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）。

(3) 一般解を求める。

初期状態ベクトルを $x_0 = c_1v_1 + c_2v_2$ と表すと、$x_n = A^n x_0 = c_1\lambda_1^n v_1 + c_2\lambda_2^n v_2 = c_1(1)^n v_1 + c_2(0.5)^n v_2$。

$x_n = c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 (0.5)^n \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$。

(4) 極限を求める。

$n \to \infty$ のとき、$(0.5)^n \to 0$ なので、$x_n \to c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$。

$x_n$ は確率ベクトルなので、要素の合計は1である必要がある。したがって、$3c_1 + 2c_1 = 1$ より $5c_1 = 1$。よって、$c_1 = \frac{1}{5} = 0.2$。

したがって、$x_n \to \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}$。

3. 最終的な答え

「総選挙がある」と聞く人の割合は0.6、「総選挙がない」と聞く人の割合は0.4に近づく。