与えられた行列 $A$ の $n$ 乗 $A^n$ を求める問題です。行列 $A$ は対角化可能で、対角化行列 $P$ と対角行列 $D$ を用いて $A^n = PDP^{-1}$ と表すことができます。 問題の画像には、$P$, $D$, $P^{-1}$ の具体的な行列が与えられており、これらの行列を用いて計算を進めているようです。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の $n$ 乗 $A^n$ を求める問題です。行列 $A$ は対角化可能で、対角化行列 $P$ と対角行列 $D$ を用いて $A^n = PDP^{-1}$ と表すことができます。 問題の画像には、$P$, $D$, $P^{-1}$ の具体的な行列が与えられており、これらの行列を用いて計算を進めているようです。

2. 解き方の手順

画像に示された手順を追って計算します。

まず、$A^n$は$A^n = PDP^{-1}$ で表されるので、具体的な行列を代入します。画像によると、

$D^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (\frac{1}{5})^n \end{bmatrix}$

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \end{bmatrix}$

$P^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{1}{5} & -\frac{4}{5} \end{bmatrix}$

次に、$P^{-1}$の計算のため、逆行列の公式を使うために、まず行列式を求めます。

$\det(P) = (1)(-\frac{3}{4}) - (1)(\frac{1}{4}) = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -1$.

$P^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{bmatrix} -\frac{3}{4} & -1 \\ -\frac{1}{4} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & 1 \\ \frac{1}{4} & -1 \end{bmatrix}$

画像では、$\frac{1}{1-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}}=3$ と計算しています。これは誤りです。

また、画像では、$P^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \end{bmatrix}$とありますが、これも異なるようです。

画像中の計算では、 $P^{-1}$の行列式を$1 - \frac{2}{3}$と書いており、誤っていると思われます。正しい行列 $P^{-1}$を使う必要があります。

画像にある計算を完了させることはできません。

3. 最終的な答え

画像から最終的な答えを特定することはできません。