次の2次関数のグラフと$x$軸との共有点の座標を求め、グラフが$x$軸に接するものがどれかを答える問題です。 (1) $y = x^2 - x - 6$ (2) $y = -x^2 + 3x - 1$ (3) $y = 2x^2 + 4x + 2$ (4) $y = 2x^2 - 5x - 3$

1. 問題の内容

次の2次関数のグラフと$x$軸との共有点の座標を求め、グラフが$x$軸に接するものがどれかを答える問題です。

(1) $y = x^2 - x - 6$

(2) $y = -x^2 + 3x - 1$

(3) $y = 2x^2 + 4x + 2$

(4) $y = 2x^2 - 5x - 3$

2. 解き方の手順

2次関数のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標は、$y = 0$としたときの2次方程式の実数解です。判別式$D$を計算し、$D>0$なら異なる2つの共有点、$D=0$なら1つの共有点(接する)、$D<0$なら共有点なしとなります。

(1) $y = x^2 - x - 6$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

共有点の座標は$(3, 0), (-2, 0)$

(2) $y = -x^2 + 3x - 1$

$-x^2 + 3x - 1 = 0$

$x^2 - 3x + 1 = 0$

解の公式より

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

共有点の座標は$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0), (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$

(3) $y = 2x^2 + 4x + 2$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

共有点の座標は$(-1, 0)$。$x$軸に接する。

(4) $y = 2x^2 - 5x - 3$

$2x^2 - 5x - 3 = 0$

$(2x + 1)(x - 3) = 0$

$x = -\frac{1}{2}, 3$

共有点の座標は$(-\frac{1}{2}, 0), (3, 0)$

3. 最終的な答え

(1) 共有点の座標: $(3, 0), (-2, 0)$

(2) 共有点の座標: $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0), (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$

(3) 共有点の座標: $(-1, 0)$。$x$軸に接する。

(4) 共有点の座標: $(-\frac{1}{2}, 0), (3, 0)$

$x$軸に接するものは(3)。