与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。

2. 解き方の手順

余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分 $\tilde{a}_{ij}$ は、行列 $A$ の成分 $a_{ij}$ に対する余因子として定義されます。余因子は $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ で計算されます。ここで、$M_{ij}$ は行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた行列式（小行列式）です。

余因子行列は、余因子を並べた行列の転置です。つまり $\tilde{A} = (C_{ij})^T$ です。

まず、各余因子 $C_{ij}$ を計算します。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (1)((1)(-1) - (-1)(-1)) = -1 - 1 = -2$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)((2)(-1) - (-1)(-1)) = -(-2 - 1) = 3$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (1)((2)(-1) - (1)(-1)) = -2 + 1 = -1$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)((2)(-1) - (2)(-1)) = -(-2 + 2) = 0$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (1)((1)(-1) - (2)(-1)) = -1 + 2 = 1$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)((1)(-1) - (2)(-1)) = -(-1 + 2) = -1$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)((2)(-1) - (2)(1)) = -2 - 2 = -4$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)((1)(-1) - (2)(2)) = -(-1 - 4) = 5$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1)((1)(1) - (2)(2)) = 1 - 4 = -3$

余因子行列は以下のようになります。

$\begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

余因子行列の転置を計算すると、余因子行列 $\tilde{A}$ が得られます。

$\tilde{A} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -4 \\ 3 & 1 & 5 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\tilde{A} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -4 \\ 3 & 1 & 5 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$