公比が2で、第4項が1である等比数列について、以下の問いに答えます。 (1) 初項を求めます。 (2) 初項から第8項までの和を求めます。

1. 問題の内容

公比が2で、第4項が1である等比数列について、以下の問いに答えます。

(1) 初項を求めます。

(2) 初項から第8項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 初項を$a$とすると、第$n$項は$ar^{n-1}$で表されます。ここで、$r$は公比です。

第4項が1なので、

$ar^{4-1} = 1$

$a \cdot 2^3 = 1$

$8a = 1$

$a = \frac{1}{8}$

(2) 初項から第$n$項までの和$S_n$は、$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$で表されます。

初項から第8項までの和を求めたいので、$n=8$として代入します。

$S_8 = \frac{\frac{1}{8}(2^8 - 1)}{2 - 1}$

$S_8 = \frac{\frac{1}{8}(256 - 1)}{1}$

$S_8 = \frac{1}{8} \cdot 255$

$S_8 = \frac{255}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 初項: $\frac{1}{8}$

(2) 初項から第8項までの和: $\frac{255}{8}$