与えられた2つの数を解とする2次方程式をそれぞれ作成します。 (1) 2, -1 (2) $2+\sqrt{3}$, $2-\sqrt{3}$ (3) $1+2i$, $1-2i$

1. 問題の内容

与えられた2つの数を解とする2次方程式をそれぞれ作成します。

(1) 2, -1

(2) $2+\sqrt{3}$, $2-\sqrt{3}$

(3) $1+2i$, $1-2i$

2. 解き方の手順

2次方程式の解を$\alpha$と$\beta$とすると、2次方程式は

$(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

と表せます。展開すると、

$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

となります。つまり、2つの解の和と積を求めれば、2次方程式を作成できます。

(1) $\alpha = 2$, $\beta = -1$ の場合

和: $\alpha + \beta = 2 + (-1) = 1$

積: $\alpha\beta = 2 \times (-1) = -2$

よって、2次方程式は $x^2 - x - 2 = 0$

(2) $\alpha = 2+\sqrt{3}$, $\beta = 2-\sqrt{3}$ の場合

和: $\alpha + \beta = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

積: $\alpha\beta = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

よって、2次方程式は $x^2 - 4x + 1 = 0$

(3) $\alpha = 1+2i$, $\beta = 1-2i$ の場合

和: $\alpha + \beta = (1+2i) + (1-2i) = 2$

積: $\alpha\beta = (1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - (4i^2) = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$

よって、2次方程式は $x^2 - 2x + 5 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - x - 2 = 0$

(2) $x^2 - 4x + 1 = 0$

(3) $x^2 - 2x + 5 = 0$