次の2つの関数がx軸に接するような $k$ の値と、そのときの接点のx座標を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 6x + 5k$ (2) $y = kx^2 + 5x - 1$

1. 問題の内容

次の2つの関数がx軸に接するような $k$ の値と、そのときの接点のx座標を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 6x + 5k$

(2) $y = kx^2 + 5x - 1$

2. 解き方の手順

関数がx軸に接するということは、二次方程式 $y = 0$ が重解を持つということです。

したがって、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が0となる条件を利用します。

(1) $y = x^2 - 6x + 5k$

$x^2 - 6x + 5k = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-6)^2 - 4(1)(5k) = 36 - 20k$

$D_1 = 0$ となるのは、 $36 - 20k = 0$ のとき。

$20k = 36$

$k = \frac{36}{20} = \frac{9}{5}$

$k = \frac{9}{5}$ のとき、$x^2 - 6x + 5 \cdot \frac{9}{5} = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 = 0$

よって、$x = 3$

(2) $y = kx^2 + 5x - 1$

$kx^2 + 5x - 1 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (5)^2 - 4(k)(-1) = 25 + 4k$

$D_2 = 0$ となるのは、 $25 + 4k = 0$ のとき。

$4k = -25$

$k = -\frac{25}{4}$

$k = -\frac{25}{4}$ のとき、$-\frac{25}{4}x^2 + 5x - 1 = 0$

両辺に -4 をかけると、$25x^2 - 20x + 4 = 0$

$(5x - 2)^2 = 0$

よって、$5x - 2 = 0$ より $x = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1)

$k$ の値：$\frac{9}{5}$

接点のx座標：3

(2)

$k$ の値：$-\frac{25}{4}$

接点のx座標：$\frac{2}{5}$