与えられた4つの2次不等式を解きます。 (1) $8x^2 - 10x - 3 > 0$ (2) $-x^2 + 2x + 4 \geq 0$ (3) $x^2 - 5x + 8 \leq 0$ (4) $x^2 - x + \frac{1}{4} > 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式を解きます。

(1) $8x^2 - 10x - 3 > 0$

(2) $-x^2 + 2x + 4 \geq 0$

(3) $x^2 - 5x + 8 \leq 0$

(4) $x^2 - x + \frac{1}{4} > 0$

2. 解き方の手順

(1) $8x^2 - 10x - 3 > 0$ を解きます。

まず、2次方程式 $8x^2 - 10x - 3 = 0$ を解きます。因数分解すると、$(4x + 1)(2x - 3) = 0$ となります。

したがって、$x = -\frac{1}{4}$ または $x = \frac{3}{2}$ です。

不等式 $8x^2 - 10x - 3 > 0$ の解は、$x < -\frac{1}{4}$ または $x > \frac{3}{2}$ です。

(2) $-x^2 + 2x + 4 \geq 0$ を解きます。

まず、両辺に-1をかけて、$x^2 - 2x - 4 \leq 0$ とします。

2次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ を解の公式で解きます。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$1 - \sqrt{5} \leq x \leq 1 + \sqrt{5}$ です。

(3) $x^2 - 5x + 8 \leq 0$ を解きます。

まず、2次方程式 $x^2 - 5x + 8 = 0$ を解きます。判別式 $D = (-5)^2 - 4(1)(8) = 25 - 32 = -7 < 0$ なので、実数解を持ちません。

$x^2 - 5x + 8$ は常に正の値をとるので、$x^2 - 5x + 8 \leq 0$ を満たす実数 $x$ は存在しません。

したがって、解なしです。

(4) $x^2 - x + \frac{1}{4} > 0$ を解きます。

$x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 > 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$ となるのは $x = \frac{1}{2}$ のときだけです。

$(x - \frac{1}{2})^2 > 0$ は $x \neq \frac{1}{2}$ を満たす全ての $x$ で成立します。

したがって、$x < \frac{1}{2}$ または $x > \frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x < -\frac{1}{4}$ または $x > \frac{3}{2}$

(2) $1 - \sqrt{5} \leq x \leq 1 + \sqrt{5}$

(3) 解なし

(4) $x < \frac{1}{2}$ または $x > \frac{1}{2}$