次の不等式が成り立つことを証明しなさい。また、(4)で等号が成り立つのはどのようなときか。 (1) $x > y$ のとき、$6x + 2y > 3x + 5y$ (2) $a > 0$, $b > 0$ のとき、$a > b \iff a^2 > b^2$ (3) $a^2 + 2a + 3 > 0$ (4) $x^2 + y^2 \ge 2x + 4y - 5$

1. 問題の内容

次の不等式が成り立つことを証明しなさい。また、(4)で等号が成り立つのはどのようなときか。

(1) $x > y$ のとき、$6x + 2y > 3x + 5y$

(2) $a > 0$, $b > 0$ のとき、$a > b \iff a^2 > b^2$

(3) $a^2 + 2a + 3 > 0$

(4) $x^2 + y^2 \ge 2x + 4y - 5$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた不等式の右辺を左辺に移項します。

$6x + 2y > 3x + 5y$

$6x + 2y - (3x + 5y) > 0$

$3x - 3y > 0$

$3(x - y) > 0$

$x - y > 0$

$x > y$

これは与えられた条件と同じなので、不等式 $6x + 2y > 3x + 5y$ は $x > y$ のとき成り立つ。

(2)

$a > 0, b > 0$のとき、$a > b \iff a^2 > b^2$ を示す。

($\Rightarrow$) $a > b$ ならば $a^2 > b^2$ であることを示す。

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$a > b$ より $a - b > 0$ であり、$a > 0$ かつ $b > 0$ より $a + b > 0$ であるから、

$(a - b)(a + b) > 0$

すなわち $a^2 - b^2 > 0$ となり、$a^2 > b^2$ である。

($\Leftarrow$) $a^2 > b^2$ ならば $a > b$ であることを示す。

$a^2 > b^2$ より $a^2 - b^2 > 0$ である。

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) > 0$

$a > 0$ かつ $b > 0$ より $a + b > 0$ であるから、$a - b > 0$ でなければならない。

よって、$a > b$ である。

(3)

$a^2 + 2a + 3 > 0$ を示す。

$a^2 + 2a + 3 = (a^2 + 2a + 1) + 2 = (a + 1)^2 + 2$

$(a + 1)^2 \ge 0$ であるから、

$(a + 1)^2 + 2 \ge 2 > 0$

よって、$a^2 + 2a + 3 > 0$ が成り立つ。

(4)

$x^2 + y^2 \ge 2x + 4y - 5$ を示す。

$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 \ge 0$

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 \ge 0$

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 5 \ge 0$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \ge 0$

$(x - 1)^2 \ge 0$ かつ $(y - 2)^2 \ge 0$ であるから、

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \ge 0$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$x - 1 = 0$ かつ $y - 2 = 0$ のとき、つまり $x = 1$ かつ $y = 2$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) $x > y$

(2) 証明完了

(3) 証明完了

(4) 証明完了。等号が成り立つのは $x = 1$ かつ $y = 2$ のとき。