第2項が6、初項から第3項までの和が26である等比数列$\{a_n\}$の第4項を求めよ。ただし、公比$r$が1の場合と4/5の場合についてそれぞれ答える。

1. 問題の内容

第2項が6、初項から第3項までの和が26である等比数列$\{a_n\}$の第4項を求めよ。ただし、公比$r$が1の場合と4/5の場合についてそれぞれ答える。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とする。

第2項が6であることから、

$ar = 6$

初項から第3項までの和が26であることから、

$a + ar + ar^2 = 26$

$ar = 6$を代入して

$a + 6 + 6r = 26$

$a + 6r = 20$

$a = 20 - 6r$

これを$ar = 6$に代入して、

$(20 - 6r)r = 6$

$20r - 6r^2 = 6$

$6r^2 - 20r + 6 = 0$

$3r^2 - 10r + 3 = 0$

$(3r - 1)(r - 3) = 0$

$r = \frac{1}{3}, 3$

r = 1のとき

問題文より$r=1$のときを考える。$ar=6$より、$a=6$。よって第4項は$ar^3 = 6 \cdot 1^3 = 6$

r = 4/5のとき

問題文より$r = \frac{4}{5}$のときを考える。$ar = 6$より、$a = \frac{6}{r} = 6 \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{2}$。よって第4項は$ar^3 = \frac{15}{2} \cdot (\frac{4}{5})^3 = \frac{15}{2} \cdot \frac{64}{125} = \frac{3}{1} \cdot \frac{32}{125} = \frac{96}{25}$

3. 最終的な答え

公比$r = 1$のとき、第4項は6。

公比$r = \frac{4}{5}$のとき、第4項は$\frac{96}{25}$。