第3項が15、第7項が39である等差数列$\{a_n\}$について、 (1) 一般項$a_n$を求める。 (2) 237が第何項であるかを求める。 (3) 初項から第$n$項までの和$S_n$を求める。 (4) $S_n = 300$のときの$n$の値を求める。

1. 問題の内容

第3項が15、第7項が39である等差数列$\{a_n\}$について、

(1) 一般項$a_n$を求める。

(2) 237が第何項であるかを求める。

(3) 初項から第$n$項までの和$S_n$を求める。

(4) $S_n = 300$のときの$n$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項は$a_n = a_1 + (n-1)d$で表される。第3項が15なので、

$a_3 = a_1 + 2d = 15$

第7項が39なので、

$a_7 = a_1 + 6d = 39$

この2式から$a_1$と$d$を求める。

$a_7 - a_3 = (a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 4d = 39 - 15 = 24$

$d = 6$

$a_1 + 2d = a_1 + 2(6) = a_1 + 12 = 15$

$a_1 = 3$

したがって、一般項は$a_n = 3 + (n-1)6 = 3 + 6n - 6 = 6n - 3$

(2) $a_n = 237$となる$n$を求める。

$6n - 3 = 237$

$6n = 240$

$n = 40$

(3) 等差数列の和は$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$で表される。

$a_1 = 3$であり、$a_n = 6n - 3$なので、

$S_n = \frac{n}{2}(3 + 6n - 3) = \frac{n}{2}(6n) = 3n^2$

(4) $S_n = 300$となる$n$を求める。

$3n^2 = 300$

$n^2 = 100$

$n = \pm 10$

$n$は自然数なので、$n = 10$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 6n - 3$

(2) 第40項

(3) $S_n = 3n^2$

(4) $n = 10$