第2項が6、初項から第3項までの和が26である等比数列 $\{a_n\}$ の第4項を求める問題です。ただし、公比 $r$ が1の場合と $4/5$ の場合に分けて答える必要があります。

1. 問題の内容

第2項が6、初項から第3項までの和が26である等比数列 $\{a_n\}$ の第4項を求める問題です。ただし、公比 $r$ が1の場合と $4/5$ の場合に分けて答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とおきます。ここで $a$ は初項、$r$ は公比です。

問題文より、$a_2 = 6$ なので、

$ar = 6$

となります。

また、初項から第3項までの和が26なので、

$a + ar + ar^2 = 26$

です。

$ar = 6$ を代入すると、

$a + 6 + 6r = 26$

$a + 6r = 20$

$a = 20 - 6r$

となります。

これを $ar = 6$ に代入すると、

$(20 - 6r)r = 6$

$20r - 6r^2 = 6$

$6r^2 - 20r + 6 = 0$

$3r^2 - 10r + 3 = 0$

$(3r - 1)(r - 3) = 0$

よって、$r = 3$ または $r = 1/3$ となります。

(1) $r = 1$ のとき

$a_2 = ar = 6$ より $a(1) = 6$ なので $a = 6$

$a_4 = ar^3 = 6(1)^3 = 6$

ただし条件より、$a+ar+ar^2=26$を満たす必要があり、

$6+6+6=18\neq 26$より、これは条件を満たさない。

しかし、問題文に$r=1$の時と指定されているので、

$a_2 = ar = 6$ より $a(1) = 6$ なので $a = 6$

$a_4 = ar^3 = 6(1)^3 = 6$

(2) $r = 4/5$ のとき

$a_2 = ar = 6$ より $a(4/5) = 6$ なので $a = 6 \times 5/4 = 15/2$

$a_4 = ar^3 = (15/2)(4/5)^3 = (15/2)(64/125) = (3/2)(64/25) = 96/25$

$r = 3$ のとき、$a = 20 - 6(3) = 20 - 18 = 2$. よって、$a_4 = ar^3 = 2(3)^3 = 2(27) = 54$

$r = 1/3$ のとき、$a = 20 - 6(1/3) = 20 - 2 = 18$. よって、$a_4 = ar^3 = 18(1/3)^3 = 18(1/27) = 2/3$

3. 最終的な答え

公比 $r=1$ のとき、第4項は 6

公比 $r=4/5$のとき、第4項は $96/25$