数列$\{a_n\}$が、$a_1=1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ で定義されているとき、一般項$a_n$を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1=1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ で定義されているとき、一般項$a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ を変形し、$a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}(a_n - 2)$ の形にする。

$a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}a_n + 1 - 2 = \frac{1}{2}a_n - 1 = \frac{1}{2}(a_n - 2)$

数列$\{a_n - 2\}$は、初項$a_1 - 2 = 1 - 2 = -1$、公比$\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$a_n - 2 = (a_1 - 2)(\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n - 2 = (-1)(\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n = 2 - (\frac{1}{2})^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 2 - (\frac{1}{2})^{n-1}$