(1) $\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+2)$ を計算し、$\frac{1}{1}n(n^2 + \boxed{\phantom{0}2\phantom{0}}n + \boxed{\phantom{0}3\phantom{0}|\phantom{0}4\phantom{0}})$ の形に表す問題。 (2) 数列 $\{a_n\}$ が $2, 3, 6, 11, 18, \dots$ で与えられたとき、一般項 $a_n$ を $n^2 - \boxed{\phantom{0}5\phantom{0}}n + \boxed{\phantom{0}6\phantom{0}}$ の形に表す問題。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+2)$ を計算し、$\frac{1}{1}n(n^2 + \boxed{\phantom{0}2\phantom{0}}n + \boxed{\phantom{0}3\phantom{0}|\phantom{0}4\phantom{0}})$ の形に表す問題。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が $2, 3, 6, 11, 18, \dots$ で与えられたとき、一般項 $a_n$ を $n^2 - \boxed{\phantom{0}5\phantom{0}}n + \boxed{\phantom{0}6\phantom{0}}$ の形に表す問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(k+1)(k+2)$ を展開する。

$(k+1)(k+2) = k^2 + 3k + 2$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 2)$ を計算する。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 1$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) + 12n}{6}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 12]}{6}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 + 9n + 9 + 12]}{6}$

$= \frac{n(2n^2 + 12n + 22)}{6}$

$= \frac{n(n^2 + 6n + 11)}{3}$

与えられた形$\frac{1}{1}n(n^2 + \boxed{\phantom{0}2\phantom{0}}n + \boxed{\phantom{0}3\phantom{0}|\phantom{0}4\phantom{0}})$と比較して、$\frac{1}{3}n(n^2 + 6n + 11)$なので、分母は3, $n^2$の係数は1, $n$の係数は6, 定数項は11。問題の形式に合わせると$\frac{1}{3}n(n^2+6n+11)$となる。分母は3。

(2)

数列 $\{a_n\}$ が $2, 3, 6, 11, 18, \dots$ で与えられている。

階差数列を求めると、

$1, 3, 5, 7, \dots$ となり、これは初項1, 公差2の等差数列である。

階差数列の一般項は $2n-1$ である。

したがって、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2 + 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 2 + (n-1)n - (n-1) = 2 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 3$.

与えられた形 $a_n = n^2 - \boxed{\phantom{0}5\phantom{0}}n + \boxed{\phantom{0}6\phantom{0}}$ に合わせると、

$n^2 - 2n + 3$ である。

このとき $-2n + 3 = -5n+6$とならなければならないが、これは成り立たない。

$a_n = n^2 + bn + c$とおいて、$n=1,2,3$を代入すると、

$a_1 = 1 + b + c = 2$

$a_2 = 4 + 2b + c = 3$

$a_3 = 9 + 3b + c = 6$

上の二つの式より、$3 + b = 1$　よって$b = -2$

$1 - 2 + c = 2$　よって$c = 3$

したがって $a_n = n^2 - 2n + 3$ となる。

$a_n = n^2 - 5n + 6$ の形に変形することを考える。

$a_n = n^2 - 2n + 3 = (n^2 - 5n + 6) + 3n - 3 = (n^2 - 5n + 6) + 3(n-1)$.

問題文の条件より、$a_n = n^2 - 5n + 6$となる必要がある。しかし、$a_n$は与えられた数列の一般項ではない。

この場合、問題文にある形に強引に変形することはできない。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}n(n^2 + 6n + 11)$ なので、

$\frac{1}{3}n(n^2 + \boxed{6}n + \boxed{11})$

(2) $a_n = n^2 - 2n + 3$なので、問題文の形式にはできない。問題文の形式に合わせて数値を当てはめると$n^2 - 5n + 6$となる。

(1) の解答:

* 2: 6

* 3|4: 11

* 1: 3

(2) の解答:

* 5: 2

* 6: 3