(1) $\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+2)$ の和を求める問題です。 解答の形式は $\frac{1}{A}n(n^2+Bn+C)$ となっています。$A$, $B$, $C$ に当てはまる数字を答えます。 (2) 数列 $2, 3, 6, 11, 18, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。 解答の形式は $a_n = n^2 - Dn + E$ となっています。$D$, $E$ に当てはまる数字を答えます。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+2)$ の和を求める問題です。

解答の形式は $\frac{1}{A}n(n^2+Bn+C)$ となっています。$A$, $B$, $C$ に当てはまる数字を答えます。

(2) 数列 $2, 3, 6, 11, 18, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

解答の形式は $a_n = n^2 - Dn + E$ となっています。$D$, $E$ に当てはまる数字を答えます。

2. 解き方の手順

(1)

$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2+3k+2)$

$= \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + 2n$

$= \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 12]$

$= \frac{n}{6} [2n^2+3n+1 + 9n+9 + 12]$

$= \frac{n}{6} [2n^2+12n+22]$

$= \frac{n}{3} [n^2+6n+11]$

$= \frac{1}{3}n(n^2+6n+11)$

したがって、$A=3$, $B=6$, $C=11$です。

(2)

数列 $2, 3, 6, 11, 18, \dots$ の階差数列を求めると、

$1, 3, 5, 7, \dots$ となります。

この階差数列は初項 $1$, 公差 $2$ の等差数列なので、一般項は $2n-1$ です。

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2 + 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 2 + n(n-1) - (n-1) = 2 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 3$.

$n=1$ のとき $a_1 = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$ となり、これも満たします。

したがって、$a_n = n^2 - 2n + 3$ です。

よって、$D=2$, $E=3$です。

3. 最終的な答え

(1)

1: 3

2: 6

3|4: 11

(2)

5: 2

6: 3