2次関数 $y = -2x^2 + 6x - 2$ の $x \geq \sqrt{2}$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 6x - 2$ の $x \geq \sqrt{2}$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = -2x^2 + 6x - 2$

$y = -2(x^2 - 3x) - 2$

$y = -2(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) - 2$

$y = -2((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 2$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 2$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{2}$

したがって、この2次関数の頂点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ である。上に凸なグラフなので、$x = \frac{3}{2}$ で最大値 $\frac{5}{2}$ をとる。

次に、定義域 $x \geq \sqrt{2}$ を考慮する。

$\sqrt{2} \approx 1.414$ であり、$\frac{3}{2} = 1.5$ であるから、$\sqrt{2} < \frac{3}{2}$ が成り立つ。

したがって、定義域の範囲内で頂点が存在するので、最大値は $x = \frac{3}{2}$ のとき $\frac{5}{2}$ である。

最小値を求めるために、定義域の端点 $x = \sqrt{2}$ における $y$ の値を計算する。

$y = -2(\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{2} - 2$

$y = -2(2) + 6\sqrt{2} - 2$

$y = -4 + 6\sqrt{2} - 2$

$y = -6 + 6\sqrt{2}$

$y = 6(\sqrt{2} - 1)$

ここで、$x$ が大きくなるほど $y$ の値は小さくなるので、$\sqrt{2}$ が定義域で最小値を与える。

最大値: $x = \frac{3}{2}$ で $y = \frac{5}{2}$

最小値: $x = \sqrt{2}$ で $y = 6\sqrt{2} - 6$

3. 最終的な答え

最大値: $x = \frac{3}{2}$ で $\frac{5}{2}$

最小値: $x = \sqrt{2}$ で $6\sqrt{2} - 6$