次の2つの関数について、与えられた範囲で最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 - 4x + 5$ ($1 < x < 3$) (2) $y = -x^2 - x + 2$ ($0 \le x < 1$)

1. 問題の内容

次の2つの関数について、与えられた範囲で最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 4x + 5$ ($1 < x < 3$)

(2) $y = -x^2 - x + 2$ ($0 \le x < 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 4x + 5$ ($1 < x < 3$)

まず、関数を平方完成します。

$y = (x^2 - 4x) + 5$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5$

$y = (x - 2)^2 + 1$

これは下に凸の放物線で、頂点は $(2, 1)$ です。

定義域は $1 < x < 3$ です。

$x = 2$ は定義域に含まれているので、$x = 2$ のとき最小値 $1$ をとります。

次に、定義域の端での値を考えます。

$x = 1$ のとき、$y = (1 - 2)^2 + 1 = 2$

$x = 3$ のとき、$y = (3 - 2)^2 + 1 = 2$

しかし、$x = 1$ と $x = 3$ は定義域に含まれていないので、 $y$ は 2 に近づくものの、2 をとることはありません。したがって、最大値はありません。

(2) $y = -x^2 - x + 2$ ($0 \le x < 1$)

まず、関数を平方完成します。

$y = -(x^2 + x) + 2$

$y = -(x^2 + x + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} + 2$

$y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

これは上に凸の放物線で、頂点は $(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ です。

定義域は $0 \le x < 1$ です。

$x = 0$ のとき、$y = -0^2 - 0 + 2 = 2$

$x = 1$ のとき、$y = -1^2 - 1 + 2 = 0$

$x = -\frac{1}{2}$ は定義域に含まれていないので、頂点は考慮しません。

定義域の端点を調べます。

$x = 0$ のとき、$y = 2$ となり、これが最小値です。

$x = 1$ は定義域に含まれていませんが、 $x$ を 1 に近づけると $y$ は $0$ に近づきます。したがって、最大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $1$ ($x=2$のとき)、最大値: なし

(2) 最小値: $2$ ($x=0$のとき)、最大値: なし