関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ の定義域が与えられた範囲にあるとき、各範囲における最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の4つの範囲について解きます。 (1) $0 \le x \le 2$ (2) $-2 \le x \le 1$ (3) $-4 \le x \le -3$ (4) $-2 \le x \le 0$

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ の定義域が与えられた範囲にあるとき、各範囲における最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の4つの範囲について解きます。

(1) $0 \le x \le 2$

(2) $-2 \le x \le 1$

(3) $-4 \le x \le -3$

(4) $-2 \le x \le 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 2x + 1 = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -(x+1)^2 + 1 + 1 = -(x+1)^2 + 2$

したがって、このグラフは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

(1) $0 \le x \le 2$ のとき

$x = 0$ のとき $y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 2$ のとき $y = -(2+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$

$x = -1$ (頂点のx座標)は区間外なので考慮しません。

この区間で最大値は $x=0$ のときの $y=1$, 最小値は $x=2$ のときの $y=-7$ です。

(2) $-2 \le x \le 1$ のとき

$x = -2$ のとき $y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 1$ のとき $y = -(1+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

頂点の $x = -1$ は区間内にあり、$y = 2$ です。

この区間で最大値は $x=-1$ のときの $y=2$, 最小値は $x=1$ のときの $y=-2$ です。

(3) $-4 \le x \le -3$ のとき

$x = -4$ のとき $y = -(-4+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$

$x = -3$ のとき $y = -(-3+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

この区間で最大値は $x=-3$ のときの $y=-2$, 最小値は $x=-4$ のときの $y=-7$ です。

(4) $-2 \le x \le 0$ のとき

$x = -2$ のとき $y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 0$ のとき $y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

頂点の $x = -1$ は区間内にあり、$y = 2$ です。

この区間で最大値は $x=-1$ のときの $y=2$, 最小値は $x=-2$と$x=0$ のときの $y=1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：1 (x=0)、最小値：-7 (x=2)

(2) 最大値：2 (x=-1)、最小値：-2 (x=1)

(3) 最大値：-2 (x=-3)、最小値：-7 (x=-4)

(4) 最大値：2 (x=-1)、最小値：1 (x=-2, x=0)