与えられた2次関数 $y = 3x^2 - 4x + 1$ の、$0 < x \le 2$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 3x^2 - 4x + 1$ の、$0 < x \le 2$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 3x^2 - 4x + 1 = 3(x^2 - \frac{4}{3}x) + 1$

$y = 3(x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) + 1$

$y = 3((x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 1$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + 1$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{1}{3}$

これにより、頂点の座標が $(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ であることがわかります。

次に、定義域 $0 < x \le 2$ における最大値と最小値を調べます。

* $x = \frac{2}{3}$ は定義域に含まれるので、最小値は $y = -\frac{1}{3}$ です。

* $x = 0$ のとき、$y = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$ です。ただし、$x>0$なので、$x=0$は含みません。

* $x = 2$ のとき、$y = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5$ です。

* $x$ が0に近いとき、$y$は1に近い値をとります。

頂点の$x$座標から、$x=2$の方が$x=0$よりも離れているので、$x=2$の時最大値を取ります。

3. 最終的な答え

最大値: 5

最小値: $-\frac{1}{3}$