点 $(x, y)$ が連立不等式 $3x - y \ge 0$, $x - 2y \le 0$, $x + 3y - 10 \le 0$ を満たすとき、$-x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

点 $(x, y)$ が連立不等式

$3x - y \ge 0$,

$x - 2y \le 0$,

$x + 3y - 10 \le 0$

を満たすとき、$-x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立不等式が表す領域 $D$ を図示する。

それぞれの不等式を変形すると、

$y \le 3x$

$y \ge \frac{1}{2}x$

$y \le -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}$

次に、$-x + y = k$ とおき、$y = x + k$ とする。

この直線が領域 $D$ と共有点を持つように $k$ の値を変化させる。

$k$ が最大・最小となるのは、直線 $y = x + k$ が領域 $D$ の頂点を通るときである。

連立不等式の境界線の交点を求める。

(1) $y = 3x$ と $y = \frac{1}{2}x$ の交点: $3x = \frac{1}{2}x$ より $x = 0$, $y = 0$。原点 $(0, 0)$

(2) $y = 3x$ と $y = -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}$ の交点: $3x = -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}$ より $9x = -x + 10$, $10x = 10$, $x = 1$, $y = 3$。$(1, 3)$

(3) $y = \frac{1}{2}x$ と $y = -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}$ の交点: $\frac{1}{2}x = -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}$ より $3x = -2x + 20$, $5x = 20$, $x = 4$, $y = 2$。$(4, 2)$

したがって、領域 $D$ の頂点は $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(4, 2)$ である。

それぞれの頂点での $-x + y$ の値を計算する。

(1) $(0, 0)$: $-0 + 0 = 0$

(2) $(1, 3)$: $-1 + 3 = 2$

(3) $(4, 2)$: $-4 + 2 = -2$

したがって、$-x + y$ の最大値は 2、最小値は -2 である。

3. 最終的な答え

最大値: 2

最小値: -2