与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、以下の領域がどのような領域に移るかを求め、図示する問題です。 (1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$ (2) $x_1 \ge 0$ (3) $x_2 \le -x_1$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、以下の領域がどのような領域に移るかを求め、図示する問題です。

(1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$

(2) $x_1 \ge 0$

(3) $x_2 \le -x_1$

2. 解き方の手順

(1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$ の場合

この領域は、$x_1x_2$ 平面上の正方形です。この正方形の四隅の点 $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$ が線形写像 $y=Ax$ によってどのように移るかを調べます。

- $(0,0) \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

- $(1,0) \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

- $(1,1) \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

- $(0,1) \rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、元の正方形は、$(0,0)$, $(2,3)$, $(3,4)$, $(1,1)$ を頂点とする平行四辺形に移ります。

(2) $x_1 \ge 0$ の場合

この領域は、$x_1x_2$ 平面上の $x_1$ 軸より右側の領域です。

$y = Ax$ より、$y_1 = 2x_1 + x_2$、$y_2 = 3x_1 + x_2$ となります。

$x_1 \ge 0$ の条件だけでは、$y_1$ と $y_2$ の範囲を特定できません。

たとえば、$x_1 = 0$ で $x_2$ が任意の値をとる場合、$y_1 = x_2$、$y_2 = x_2$ となり、$y_1 = y_2$ という直線になります。

$x_1 > 0$ で $x_2$ が非常に小さい負の値をとると、$y_1$、$y_2$ は正の値になる可能性があります。

よって、$y=Ax$ によって写された領域は、原点を通り、$y_1 = y_2$ より右側の領域になります。

正確な領域を特定するには、追加の情報が必要です。

$A$の行列式は$2 * 1 - 1 * 3 = -1$なので、$A$は可逆行列であり、$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$となる。

(3) $x_2 \le -x_1$ の場合

この領域は、$x_1x_2$ 平面上の直線 $x_2 = -x_1$ より下側の領域です。

$y_1 = 2x_1 + x_2$、$y_2 = 3x_1 + x_2$ とすると、$x_2 \le -x_1$ より、$y_1 \le 2x_1 - x_1 = x_1$、$y_2 \le 3x_1 - x_1 = 2x_1$ となります。

$x_2 \le -x_1$ より $x_1 + x_2 \le 0$ であるため、この条件を $y_1$ および $y_2$ を用いて表すことを試みます。

$y_1 - y_2 = (2x_1 + x_2) - (3x_1 + x_2) = -x_1$

$y_2 = 3x_1 + x_2$より、$x_2 = y_2 - 3x_1$

$x_1 + x_2 = x_1 + y_2 - 3x_1 = y_2 - 2x_1 \le 0$

$y_2 \le 2x_1$

領域を特徴づけるには、別の関係が必要です。

与えられた条件のみから、正確な領域を特定することは困難です。

3. 最終的な答え

(1) $(0,0)$, $(2,3)$, $(3,4)$, $(1,1)$ を頂点とする平行四辺形。

(2) 情報が不足しているため、$x_1 \ge 0$を写した正確な領域を特定することは困難。$y_1=y_2$となる直線より右側。

(3) 情報が不足しているため、$x_2 \le -x_1$を写した正確な領域を特定することは困難。