与えられた条件を満たすように、定数 $c$ の値を求める問題です。 (1) 関数 $y = x^2 - 12x + c$ ($3 \le x \le 8$) の最大値が $10$ である。 (2) 関数 $y = -x^2 - 8x + c$ ($-6 \le x \le 2$) の最小値が $-16$ である。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たすように、定数 $c$ の値を求める問題です。

(1) 関数 $y = x^2 - 12x + c$ ($3 \le x \le 8$) の最大値が $10$ である。

(2) 関数 $y = -x^2 - 8x + c$ ($-6 \le x \le 2$) の最小値が $-16$ である。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = x^2 - 12x + c$ を平方完成します。

$y = (x - 6)^2 - 36 + c$

この関数は下に凸の放物線で、軸は $x = 6$ です。定義域 $3 \le x \le 8$ において、軸 $x=6$ が含まれています。

$x=3$ または $x=8$ の時に最大値をとります。

$x = 3$ のとき $y = 3^2 - 12(3) + c = 9 - 36 + c = c - 27$

$x = 8$ のとき $y = 8^2 - 12(8) + c = 64 - 96 + c = c - 32$

したがって、$x=3$のときに最大値$10$をとる。

$c - 27 = 10$

$c = 37$

(2) 関数 $y = -x^2 - 8x + c$ を平方完成します。

$y = -(x + 4)^2 + 16 + c$

この関数は上に凸の放物線で、軸は $x = -4$ です。定義域 $-6 \le x \le 2$ において、軸 $x=-4$ が含まれています。

$x=2$の時に最小値をとります。

$x=2$のとき $y = -2^2 - 8(2) + c = -4 - 16 + c = c - 20$

したがって、$x=2$のときに最小値$-16$をとる。

$c - 20 = -16$

$c = 4$

3. 最終的な答え

(1) $c = 37$

(2) $c = 4$