数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および $a_{n+1} = 4n - a_n$ で定義されています。この数列の一般項を推定し、その推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明してください。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および $a_{n+1} = 4n - a_n$ で定義されています。この数列の一般項を推定し、その推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明してください。

2. 解き方の手順

(1) 一般項の推定：

まず、数列の最初のいくつかの項を計算して、一般項を推定します。

$a_1 = 1$

$a_2 = 4(1) - a_1 = 4 - 1 = 3$

$a_3 = 4(2) - a_2 = 8 - 3 = 5$

$a_4 = 4(3) - a_3 = 12 - 5 = 7$

これらの項から、$a_n = 2n - 1$ と推定できます。

(2) 数学的帰納法による証明：

(i) n = 1 のとき：

$a_1 = 2(1) - 1 = 1$ となり、$a_1 = 1$ なので、$n=1$ のとき、推定は正しいです。

(ii) n = k のとき、推定が正しいと仮定する：

$a_k = 2k - 1$ が成り立つと仮定します。

(iii) n = k+1 のとき：

$a_{k+1} = 4k - a_k$ を考えます。

仮定より、$a_k = 2k - 1$ なので、

$a_{k+1} = 4k - (2k - 1) = 4k - 2k + 1 = 2k + 1$

一方、$a_{k+1} = 2(k+1) - 1 = 2k + 2 - 1 = 2k + 1$ となります。

したがって、$n = k+1$ のときも、推定は正しいです。

(i), (ii), (iii) より、数学的帰納法によって、$a_n = 2n - 1$ はすべての正の整数 $n$ に対して正しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n - 1$