(1) グラフが3点 $(-1, -2)$, $(2, 7)$, $(3, 18)$ を通る2次関数を求めよ。 (2) 放物線 $y = 2x^2$ を平行移動した曲線で、点 $(2, 3)$ を通り、その頂点が直線 $y = x + 1$ 上にある2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) グラフが3点 $(-1, -2)$, $(2, 7)$, $(3, 18)$ を通る2次関数を求めよ。

(2) 放物線 $y = 2x^2$ を平行移動した曲線で、点 $(2, 3)$ を通り、その頂点が直線 $y = x + 1$ 上にある2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。与えられた3点の座標を代入して、 $a, b, c$ についての連立方程式を立て、それを解く。

まず、点 $(-1, -2)$ を通ることから、

$a(-1)^2 + b(-1) + c = -2$

$a - b + c = -2$ (1)

次に、点 $(2, 7)$ を通ることから、

$a(2)^2 + b(2) + c = 7$

$4a + 2b + c = 7$ (2)

最後に、点 $(3, 18)$ を通ることから、

$a(3)^2 + b(3) + c = 18$

$9a + 3b + c = 18$ (3)

(2) - (1) より、

$3a + 3b = 9$

$a + b = 3$ (4)

(3) - (2) より、

$5a + b = 11$ (5)

(5) - (4) より、

$4a = 8$

$a = 2$

(4) に代入して、

$2 + b = 3$

$b = 1$

(1) に代入して、

$2 - 1 + c = -2$

$1 + c = -2$

$c = -3$

よって、求める2次関数は $y = 2x^2 + x - 3$

(2) 放物線 $y = 2x^2$ を平行移動した曲線なので、求める2次関数は $y = 2(x - p)^2 + q$ と表せる。頂点の座標は $(p, q)$ であり、これは直線 $y = x + 1$ 上にあるので、$q = p + 1$ が成り立つ。よって、$y = 2(x - p)^2 + p + 1$ と表せる。

これが点 $(2, 3)$ を通るので、

$3 = 2(2 - p)^2 + p + 1$

$3 = 2(4 - 4p + p^2) + p + 1$

$3 = 8 - 8p + 2p^2 + p + 1$

$2p^2 - 7p + 6 = 0$

$(2p - 3)(p - 2) = 0$

$p = \frac{3}{2}$ または $p = 2$

$p = \frac{3}{2}$ のとき、$q = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$

$y = 2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{2}$

$y = 2(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + \frac{5}{2}$

$y = 2x^2 - 6x + \frac{9}{2} + \frac{5}{2}$

$y = 2x^2 - 6x + 7$

$p = 2$ のとき、$q = 2 + 1 = 3$

$y = 2(x - 2)^2 + 3$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) + 3$

$y = 2x^2 - 8x + 8 + 3$

$y = 2x^2 - 8x + 11$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 + x - 3$

(2) $y = 2x^2 - 6x + 7$ または $y = 2x^2 - 8x + 11$