関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が 5 となるように、定数 $c$ の値を求め、そのときの最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が 5 となるように、定数 $c$ の値を求め、そのときの最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 6x) + c$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + c$

$y = -(x - 3)^2 + 9 + c$

これにより、この放物線の頂点は $(3, 9+c)$ であることがわかります。

また、$x^2$ の係数が負であるため、上に凸の放物線です。

定義域 $1 \le x \le 4$ を考えると、頂点の $x$ 座標 $x=3$ がこの範囲に含まれています。

したがって、$x=3$ のとき最大値をとります。

最大値が 5 であることから、

$9+c = 5$

$c = 5 - 9$

$c = -4$

次に、$c = -4$ のときの最小値を求めます。

$y = -(x-3)^2 + 5$

定義域 $1 \le x \le 4$ において、頂点から最も遠い $x$ の値は、$x=1$ です。

したがって、$x=1$ のときに最小値をとります。

$x=1$ を代入すると、

$y = -(1-3)^2 + 5$

$y = -(-2)^2 + 5$

$y = -4 + 5$

$y = 1$

3. 最終的な答え

$c = -4$

最小値: 1