与えられた6つの2次関数について、最大値または最小値が存在する場合、それらを求めよ。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数について、最大値または最小値が存在する場合、それらを求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数の最大値・最小値を求めるには、まず平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形できれば、頂点の座標は $(p, q)$ となり、$a > 0$ ならば最小値 $q$ を、$a < 0$ ならば最大値 $q$ を持ちます。

(1) $y = (x-1)^2 + 5$

すでに平方完成されているので、頂点は $(1, 5)$ です。$a = 1 > 0$ なので、最小値を持ちます。

最小値: $5$

(2) $y = -3x^2 + 2$

$y = -3(x-0)^2 + 2$ と変形できるので、頂点は $(0, 2)$ です。$a = -3 < 0$ なので、最大値を持ちます。

最大値: $2$

(3) $y = x^2 - 4x - 4$

$y = (x^2 - 4x) - 4 = (x^2 - 4x + 4 - 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4 - 4 = (x-2)^2 - 8$

頂点は $(2, -8)$ です。$a = 1 > 0$ なので、最小値を持ちます。

最小値: $-8$

(4) $y = -2x^2 - 4x - 3$

$y = -2(x^2 + 2x) - 3 = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 3 = -2(x+1)^2 + 2 - 3 = -2(x+1)^2 - 1$

頂点は $(-1, -1)$ です。$a = -2 < 0$ なので、最大値を持ちます。

最大値: $-1$

(5) $y = x^2 + 5x + 4$

$y = (x^2 + 5x) + 4 = (x^2 + 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4}) + 4 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{16}{4} = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}$

頂点は $(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$ です。$a = 1 > 0$ なので、最小値を持ちます。

最小値: $-\frac{9}{4}$

(6) $y = -2x^2 + 3x - 1$

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 1 = -2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) - 1 = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} - 1 = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$

頂点は $(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$ です。$a = -2 < 0$ なので、最大値を持ちます。

最大値: $\frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $5$

(2) 最大値: $2$

(3) 最小値: $-8$

(4) 最大値: $-1$

(5) 最小値: $-\frac{9}{4}$

(6) 最大値: $\frac{1}{8}$