関数 $f(x) = x^4 + 9x^3 - 12x^2 + 9x - 3$ が与えられています。$p = -5 - 2\sqrt{7}$ のときの $f(p)$ の値を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^4 + 9x^3 - 12x^2 + 9x - 3$ が与えられています。$p = -5 - 2\sqrt{7}$ のときの $f(p)$ の値を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$p = -5 - 2\sqrt{7}$ を変形します。

$p + 5 = -2\sqrt{7}$

両辺を2乗すると、

$(p + 5)^2 = (-2\sqrt{7})^2$

$p^2 + 10p + 25 = 4 \times 7 = 28$

$p^2 + 10p - 3 = 0$

次に、$f(x) = x^4 + 9x^3 - 12x^2 + 9x - 3$ を $x^2 + 10x - 3$ で割ります。

実際に割り算を行うと、

$x^4 + 9x^3 - 12x^2 + 9x - 3 = (x^2 + 10x - 3)(x^2 - x - 1) - 6$

したがって、$f(p) = (p^2 + 10p - 3)(p^2 - p - 1) - 6$ です。

$p^2 + 10p - 3 = 0$ なので、$f(p) = 0 \times (p^2 - p - 1) - 6 = -6$ となります。

ここで選択肢を確認すると、どれも $-6$ になっていません。考え方を変えます。

$p = -5 - 2\sqrt{7}$ より $p+5 = -2\sqrt{7}$ であるため、

$p^2 + 10p + 25 = 28$

$p^2 = -10p + 3$

したがって、

\begin{align*} f(p) &= p^4 + 9p^3 - 12p^2 + 9p - 3 \\ &= p^2 (p^2) + 9p(p^2) - 12p^2 + 9p - 3 \\ &= p^2 (-10p+3) + 9p(-10p+3) - 12p^2 + 9p - 3 \\ &= -10p^3 + 3p^2 - 90p^2 + 27p - 12p^2 + 9p - 3 \\ &= -10p^3 - 99p^2 + 36p - 3\end{align*}

同様に、$p^3 = p \cdot p^2 = p(-10p+3) = -10p^2 + 3p = -10(-10p+3) + 3p = 100p - 30 + 3p = 103p - 30$

\begin{align*}f(p) &= -10(103p - 30) - 99p^2 + 36p - 3 \\ &= -1030p + 300 - 99p^2 + 36p - 3 \\ &= -994p - 99p^2 + 297 \\ &= -994p - 99(-10p+3) + 297 \\ &= -994p + 990p - 297 + 297 \\ &= -4p \\ &= -4(-5 - 2\sqrt{7}) \\ &= 20 + 8\sqrt{7}\end{align*}

3. 最終的な答え

$20 + 8\sqrt{7}$

選択肢3が正解です。