ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について、 $|\vec{a}|=\sqrt{3}$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5}$ であるとき、以下の問題を解く。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求める。 (2) ベクトル $2\vec{a}-3\vec{b}$ の大きさを求める。 (3) ベクトル $\vec{a}+t\vec{b}$ の大きさが最小となるように実数 $t$ の値を定め、そのときの最小値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について、 $|\vec{a}|=\sqrt{3}$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5}$ であるとき、以下の問題を解く。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求める。

(2) ベクトル $2\vec{a}-3\vec{b}$ の大きさを求める。

(3) ベクトル $\vec{a}+t\vec{b}$ の大きさが最小となるように実数 $t$ の値を定め、そのときの最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$ の関係を利用する。

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

$|\vec{a}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$|\vec{b}|^2 = 2^2 = 4$

これらを代入すると、

$5 = 3 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 4$

$2\vec{a}\cdot\vec{b} = 7 - 5 = 2$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 1$

(2) $|2\vec{a}-3\vec{b}|^2 = (2\vec{a}-3\vec{b})\cdot(2\vec{a}-3\vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 12\vec{a}\cdot\vec{b} + 9|\vec{b}|^2$

$|\vec{a}|^2 = 3$, $|\vec{b}|^2 = 4$, $\vec{a}\cdot\vec{b} = 1$ を代入すると、

$|2\vec{a}-3\vec{b}|^2 = 4(3) - 12(1) + 9(4) = 12 - 12 + 36 = 36$

$|2\vec{a}-3\vec{b}| = \sqrt{36} = 6$

(3) $|\vec{a}+t\vec{b}|^2 = (\vec{a}+t\vec{b})\cdot(\vec{a}+t\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2t\vec{a}\cdot\vec{b} + t^2|\vec{b}|^2$

$|\vec{a}|^2 = 3$, $|\vec{b}|^2 = 4$, $\vec{a}\cdot\vec{b} = 1$ を代入すると、

$|\vec{a}+t\vec{b}|^2 = 3 + 2t + 4t^2 = 4t^2 + 2t + 3$

平方完成すると、

$4t^2 + 2t + 3 = 4(t^2 + \frac{1}{2}t) + 3 = 4(t + \frac{1}{4})^2 - 4(\frac{1}{16}) + 3 = 4(t + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 3 = 4(t + \frac{1}{4})^2 + \frac{11}{4}$

$|\vec{a}+t\vec{b}|^2$ が最小となるのは、$t = -\frac{1}{4}$ のときで、そのときの最小値は $\frac{11}{4}$ である。

よって、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b} = 1$

(2) $|2\vec{a}-3\vec{b}| = 6$

(3) $t = -\frac{1}{4}$, 最小値は $\frac{\sqrt{11}}{2}$