与えられた多項式方程式を解く問題です。具体的には以下の４つの方程式を解きます。 (7) $2x^3 - x^2 - 8x + 4 = 0$ (8) $x^4 - x^3 + x^2 - 3x - 6 = 0$ (9) $3x^4 - 8x^3 + x^2 + 8x - 4 = 0$ (10) $x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 18 = 0$

1. 問題の内容

与えられた多項式方程式を解く問題です。具体的には以下の４つの方程式を解きます。

(7) $2x^3 - x^2 - 8x + 4 = 0$

(8) $x^4 - x^3 + x^2 - 3x - 6 = 0$

(9) $3x^4 - 8x^3 + x^2 + 8x - 4 = 0$

(10) $x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 18 = 0$

2. 解き方の手順

(7) $2x^3 - x^2 - 8x + 4 = 0$

この式を因数分解します。まず、項をグループ化します。

$(2x^3 - x^2) + (-8x + 4) = 0$

$x^2(2x - 1) - 4(2x - 1) = 0$

$(x^2 - 4)(2x - 1) = 0$

$(x - 2)(x + 2)(2x - 1) = 0$

よって、$x = 2, -2, \frac{1}{2}$.

(8) $x^4 - x^3 + x^2 - 3x - 6 = 0$

この式を因数分解します。整数解の候補を探します。定数項の約数である $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ を試します。

$x = -1$: $(-1)^4 - (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) - 6 = 1 + 1 + 1 + 3 - 6 = 0$.

$x = 2$: $(2)^4 - (2)^3 + (2)^2 - 3(2) - 6 = 16 - 8 + 4 - 6 - 6 = 0$.

したがって、$x+1$ と $x-2$ は因数です。

$(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$.

多項式を割ります: $(x^4 - x^3 + x^2 - 3x - 6) / (x^2 - x - 2) = x^2 + 3$.

したがって、$x^4 - x^3 + x^2 - 3x - 6 = (x^2 - x - 2)(x^2 + 3) = (x+1)(x-2)(x^2+3) = 0$.

$x^2+3=0$ を解くと、$x = \pm i\sqrt{3}$.

よって、$x = -1, 2, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$.

(9) $3x^4 - 8x^3 + x^2 + 8x - 4 = 0$

定数項の約数である $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}$ を試します。

$x=2$: $3(16) - 8(8) + 4 + 16 - 4 = 48 - 64 + 4 + 16 - 4 = 0$.

$x = \frac{1}{3}$: $3(\frac{1}{81}) - 8(\frac{1}{27}) + \frac{1}{9} + 8(\frac{1}{3}) - 4 = \frac{1}{27} - \frac{8}{27} + \frac{3}{27} + \frac{72}{27} - \frac{108}{27} = \frac{1-8+3+72-108}{27} = \frac{-40}{27} \ne 0$.

$x=-1$: $3+8+1-8-4=0$.

$(x-2)(x+1) = x^2 -x - 2$.

$3x^4 - 8x^3 + x^2 + 8x - 4 = (x^2 - x - 2)(3x^2 -5x +2) = (x-2)(x+1)(3x-2)(x-1)=0$.

よって、$x = 2, -1, \frac{2}{3}, 1$.

(10) $x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 18 = 0$

整数解の候補を探します。定数項の約数である $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$ を試します。

$x = -2$: $16 - 3(-8) - 4 - 3(-2) + 18 = 16 + 24 - 4 + 6 + 18 = 60 \ne 0$.

$x = 3$: $81 - 3(27) - 9 - 3(3) + 18 = 81 - 81 - 9 - 9 + 18 = 0$.

$x=-3$: $81 - 3(-27) - 9 - 3(-3) + 18 = 81 + 81 - 9 + 9 + 18 = 180 \ne 0$.

$x = -2$: $16 - 3(-8) - 4 - 3(-2) + 18 = 16 + 24 - 4 + 6 + 18 = 60 \ne 0$.

$x = 3$: $3-3 = 0$ より、$x-3$は因数。

$x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 18 = (x-3)(x^3 - x - 6)$.

整数解の候補を探します。定数項の約数である $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ を試します。

$x = 2$: $8 - 2 - 6 = 0$. よって、$x-2$も因数。

$x^3 - x - 6 = (x-2)(x^2 + 2x + 3)$.

$x^2 + 2x + 3 = 0$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$.

よって、$x = 3, 2, -1 + i\sqrt{2}, -1 - i\sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

(7) $x = 2, -2, \frac{1}{2}$

(8) $x = -1, 2, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$

(9) $x = 2, -1, \frac{2}{3}, 1$

(10) $x = 3, 2, -1 + i\sqrt{2}, -1 - i\sqrt{2}$