問題は全部で6問あります。 問1は連立1次方程式を拡大係数行列の基本変形を用いて解く問題です。 問2は行列を簡約化して階数を求める問題です。 問3は行列式の値を求める問題です。 問4は行列の逆行列を求める問題です。 問5は $A^tA = E$ のとき $|A| = \pm 1$ となることを示す問題です。 問6は2つの正方行列 $A, B$ に関する条件から結論が導けるか調べる問題です。

1. 問題の内容

問題は全部で6問あります。

問1は連立1次方程式を拡大係数行列の基本変形を用いて解く問題です。

問2は行列を簡約化して階数を求める問題です。

問3は行列式の値を求める問題です。

問4は行列の逆行列を求める問題です。

問5は $A^tA = E$ のとき $|A| = \pm 1$ となることを示す問題です。

問6は2つの正方行列 $A, B$ に関する条件から結論が導けるか調べる問題です。

2. 解き方の手順

**問1:**

与えられた連立1次方程式の拡大係数行列は次の通りです。

$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & -8 & | & 1 \\ 1 & 2 & -1 & -1 & | & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -5 & | & 0 \end{bmatrix}$

この行列を簡約化します。

まず1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & | & 2 \\ 2 & 4 & 1 & -8 & | & 1 \\ 1 & 2 & 1 & -5 & | & 0 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。

3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -6 & | & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & | & -2 \end{bmatrix}$

2行目を3で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & | & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & | & -2 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$

1行目に2行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$

よって、$x_1 + 2x_2 - 3x_4 = 1$ かつ $x_3 - 2x_4 = -1$ となります。

$x_2 = a$, $x_4 = b$ とおくと、$x_1 = 1 - 2a + 3b$, $x_3 = -1 + 2b$ となります。

**問2:**

与えられた行列は次の通りです。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & x \end{bmatrix}$

2行目から1行目を引きます。

3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & x-1 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の $(x-1)$ 倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

よって階数は2です。

**問3:**

(1)

$\begin{vmatrix} -1 & 6 & 7 \\ 3 & -3 & 4 \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = -1(-6-12) - 6(6+8) + 7(9-6) = 18 - 84 + 21 = -45$

(2)

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \\ 5 & 10 & -15 & 10 \end{vmatrix}$

4行目は1行目の5倍なので、行列式は0です。

**問4:**

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 2 \end{bmatrix}$

$|A| = 2(2+4) - 1(8-6) + 3(-8-3) = 12 - 2 - 33 = -23$

余因子行列を求めます。

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} 6 & -2 & -11 \\ -8 & -5 & 7 \\ -1 & 8 & -2 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A}^t = \frac{1}{-23} \begin{bmatrix} 6 & -8 & -1 \\ -2 & -5 & 8 \\ -11 & 7 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6/23 & 8/23 & 1/23 \\ 2/23 & 5/23 & -8/23 \\ 11/23 & -7/23 & 2/23 \end{bmatrix}$

**問5:**

$A^t A = E$ のとき、

$|A^t A| = |E| = 1$

$|A^t| |A| = 1$

$|A| |A| = 1$

$|A|^2 = 1$

$|A| = \pm 1$

**問6:**

(1)

$AB = O$ のとき、$A = O$ または $B = O$ とは限りません。

例えば、$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ のとき、$AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ ですが、$A \ne O$ かつ $B \ne O$ です。

(2)

$A$ が正則のとき、$AB = O$ ならば $B = O$ となります。

$AB = O$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、$A^{-1}AB = A^{-1}O$ となります。

よって、$IB = O$ すなわち $B = O$ となります。

3. 最終的な答え

問1: $x_1 = 1 - 2a + 3b, x_2 = a, x_3 = -1 + 2b, x_4 = b$ (a, b は任意の実数)

問2: 2

問3: (1) -45, (2) 0

問4: $\begin{bmatrix} -6/23 & 8/23 & 1/23 \\ 2/23 & 5/23 & -8/23 \\ 11/23 & -7/23 & 2/23 \end{bmatrix}$

問5: $|A| = \pm 1$

問6: (1) $A = O$ または $B = O$ とは限らない, (2) $B = O$