放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ を $x$ 軸方向に $4$、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動させた放物線の頂点が $(-1, 1)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ を $x$ 軸方向に $4$、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動させた放物線の頂点が $(-1, 1)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 2ax + b$ を平方完成する。

$y = (x - a)^2 - a^2 + b$

よって、放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ の頂点は $(a, -a^2 + b)$ である。

次に、放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ を $x$ 軸方向に $4$、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動させた放物線の方程式を求める。平行移動後の放物線の方程式は、

$y - 1 = (x - 4)^2 - 2a(x - 4) + b$

$y = (x - 4)^2 - 2a(x - 4) + b + 1$

$y = x^2 - 8x + 16 - 2ax + 8a + b + 1$

$y = x^2 - (2a + 8)x + 17 + 8a + b$

平行移動後の放物線の頂点の座標は $(-1, 1)$ であるので、

平行移動後の放物線を平方完成すると、

$y = (x + 1)^2 + 1$

$y = x^2 + 2x + 1 + 1$

$y = x^2 + 2x + 2$

平行移動後の放物線の方程式は、$y = x^2 - (2a + 8)x + 17 + 8a + b$ と $y = x^2 + 2x + 2$ で表せるので、係数を比較すると、

$-(2a + 8) = 2$ より、

$-2a - 8 = 2$

$-2a = 10$

$a = -5$

$17 + 8a + b = 2$

$17 + 8(-5) + b = 2$

$17 - 40 + b = 2$

$-23 + b = 2$

$b = 25$

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = 25$