与えられた2つの2次関数について、グラフを描く問題です。 (1) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$ (2) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、グラフを描く問題です。

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

(2) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$ の場合

まず、平方完成を行います。

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4 - 4)$

$y = \frac{1}{2}((x+2)^2 - 4)$

$y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$

したがって、頂点は $(-2, -2)$ で、軸は $x = -2$ です。

また、$x=0$のとき、$y=0$なので、原点を通ります。

この情報をもとにグラフを描きます。

(2) $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{10}{3}$ の場合

同様に、平方完成を行います。

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4 - 4) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}((x-2)^2 - 4) + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x-2)^2 - \frac{4}{3} + \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x-2)^2 + \frac{6}{3}$

$y = \frac{1}{3}(x-2)^2 + 2$

したがって、頂点は $(2, 2)$ で、軸は $x = 2$ です。

この情報をもとにグラフを描きます。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$

グラフは頂点が $(-2, -2)$、軸が $x = -2$ の下に凸な放物線。

(2) $y = \frac{1}{3}(x-2)^2 + 2$

グラフは頂点が $(2, 2)$、軸が $x = 2$ の下に凸な放物線。