ある放物線を、x軸方向に-1、y軸方向に-3だけ平行移動し、更にx軸に関して対称移動したところ、放物線 $y=x^2-2x+2$ になった。もとの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ある放物線を、x軸方向に-1、y軸方向に-3だけ平行移動し、更にx軸に関して対称移動したところ、放物線 $y=x^2-2x+2$ になった。もとの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 最終的に得られた放物線 $y=x^2-2x+2$ をx軸に関して対称移動する。x軸に関して対称移動するということは、$y$ を $-y$ に置き換えることなので、

$-y = x^2 - 2x + 2$

$y = -x^2 + 2x - 2$

ステップ2: ステップ1で得られた放物線を、平行移動の逆の操作で移動させる。元の放物線はx軸方向に-1、y軸方向に-3だけ平行移動されているので、まずはy軸方向に+3平行移動する。

$y-3 = -x^2 + 2x - 2$

$y = -x^2 + 2x + 1$

ステップ3: ステップ2で得られた放物線を、x軸方向に+1平行移動する。

$y = -(x-1)^2 + 2(x-1) + 1$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 2x - 2 + 1$

$y = -x^2 + 2x - 1 + 2x - 1$

$y = -x^2 + 4x - 2$

したがって、元の放物線の方程式は $y = -x^2 + 4x - 2$ である。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 2$